445章
“这是因为，从1到p1p2这p1p2个正整数中，p1，2p1，...，p2p1这p2个正整数跟p1p2有共同素因子p1；p2，2p2，...，p1p2这p1个正整数跟p1p2有共同素因子p2；其余全都跟p1p2互素。”
“由此，可以得到φp1p2为p1p2-p2-p1，上述的推理可以无穷重复，进而表明素数有无穷多个。”
仅仅不到四五分钟的时间，程诺已经不停歇的说出三个利用新方向的证明法，让两位队友不禁大开眼界。
要这三个证明法都仅仅是欧里几得证明法的变zhong的话，两位ding多会认为程诺对欧里几得证明法研究颇shen而已，倒升不起任何崇拜之意。
但三个证明法全bu都不同于欧里几得那zhong整数乘起来再zuo点加减法的证明，而是另辟蹊径，分别利用“互素序列”、“素数分布”、“代数数论”三个完全不同的方向进行拓展。
程诺说出的三个证明法都不算太过复杂，甚至还可以说是简单的过分。
但越简单，越让两人吃惊不已。
对于一个命题的证明过程，无论是哪个数学家，都希望当然是越简单越好。
别看许多高大上的数学定理的证明过程都是无比复杂，但那群数学家们也不愿意这样啊！
还不是因为找不到更加简单的证明方法。
越简单，就越容易让人理解。但对于数学家的要求越高。
同一个定理，一个能用一页论文将其证明的数学家，比之要用五页论文才能将其证明的数学家，学术水平至少要高上一倍。
也因此，两人现在看待程诺的眼神，宛若是看待一只怪物。
这家伙……真的只是一个研究生？
本以为程诺的实力只是和他们两人在伯仲之间而已。如今感觉，就程诺现在表现出来的实力，在他们学校担任副教授都够格了吧！
“有水吗，有点口渴了。”在两人还是思索之际，程诺哑着嗓子问dao。
“哦哦，我这里有水。”一人急忙将背包里的一瓶矿泉水递了过去。
“谢了。”
程诺咕咚咕咚喝了半瓶，等嗓子里那zhong不适感过去，dao，“之前说到哪了，哦，我讲完第三个证明法了，下面说第四个。”
程诺忘了一眼在那握笔准备记录的队友dao，“如果累了的话，可以让他帮你。”
说完，程诺便接着上面开始讲。
“第四个，利用解析数论的证明，这个方法和我上面用代数数论的证明方法有异曲同工之妙，你们都知dao，欧拉乘积公式是：Σnn-s=Πp1-p-s-1s>1，左侧经解析延拓后，可变为解析数论中极重要的函数：黎曼ζ函数ζs。”
“对于s=1，欧拉乘积公式的左侧是被称为调和级数的发散级数……”
程诺清了清嗓子，继续说，“上面这几个都是和数论有关的，下面我再说几个其他领域方向的证明方法。”
在两人瞠目结she2下，程诺娓娓说dao，“第五个，可以利用组合证明的方法。证明的思路是这样的：任何正整数n都可写成n=rs2的形式，其中r是不能被任何大于1的平方数整除的正整数，s2则是所有平方数因子的乘积。假如素数只有n个，则在r的素数分解中……”
“呃，程诺，你能不能再讲一遍。”负责记录的那位学生挠挠tou，略显尴尬的说dao，“我刚才光顾得愣神，忘了记录了。”
程诺无奈的耸耸肩，“好吧，我再说一遍，这次你们可要认真听。”
篝火的火光映在程诺侧脸上，显得光辉无比。
程诺座下两位博士生宛若乖宝宝般齐齐点tou，一副学生虚心受教的姿态。
“……第六个，利用拓扑的方法证明。”
两人顿时疑窦丛生。
程诺察觉到他们疑惑的小眼神，哈哈笑了笑，“我明白你们心中的疑惑，拓扑学似乎和数论是两个很不想干的领域，为什么我却这么说。等我讲完，你们就清楚了。”
“我们可以定义整数集上的一个拓扑，其开集由且仅由空集?及算术序列a? ba≠0和b皆为整数的并集组成。不难证明，如此定义的开集满足拓扑的定义，即：……”
“……由此，便得知素数有无穷多个。你们现在明白了吗？”
两人齐齐小ji啄米般点tou，脑中不断回味着程诺的话语。
但程诺并没有留给两人太多回味的时间。
在脑海中简单过一遍思路，程诺便讲述下一个证明法。
如今半小时的时间差不多已经过去一半，不抓jin的时间的话，还真的有可能讲不完。
“第七个，利用素数在信息、编码等领域的应用进行证明。过程很简单，正整数n都可分解为素数的连乘积：n=p1m1·p2m2...”
“……第八个，利用函数的方向证明，设fn为可整除n的不同素数的个数，假如素数只有有限多个，其连乘积为p，则显然对所有n都有fn=fn p……”
“……第九个，我将其称为素数的单行证明，单行表达式为：0＜nsinπ/p=nsinπ1 2np＇/p，假设素数只有有限多个。若素数只有有限多个，则表达式中左侧“<”右端连乘积中的sin的自变量π/p全都在0和π之间，sinπ/p>0，……”
“呼呼-！”
说完第九个证明法后，程诺就觉得口干she2燥，把剩余的半瓶矿泉水咕咚咕咚全都guan了下去。
一人很识趣的又递给程诺一瓶矿泉水。
见程诺许久没有了动作，那个负责记录的同学翻了翻自己写了有四页多的公式，咽了咽唾沫，小心翼翼的问dao，“还有吗？”
程诺摆摆手，苦笑dao，“新方向的证明法我能想到的只有这九个了，唉，距离勾gu定理五百多zhong证明方法还是差的太远啊！”
程诺苦笑，他们也在苦笑。
勾gu定理的五百多zhong证明法，可是历经几千年历史，数十代数学家的发展下才形成的。
程诺能在半个小时不到的时间里就能想出素数无穷的九zhong证明法，已经超出两人理解的范畴。
可听程诺的语气，他似乎还ting不满意。
这……
他们还能说啥！
“这是因为，从1到p1p2这p1p2个正整数中，p1，2p1，...，p2p1这p2个正整数跟p1p2有共同素因子p1；p2，2p2，...，p1p2这p1个正整数跟p1p2有共同素因子p2；其余全都跟p1p2互素。”
“由此，可以得到φp1p2为p1p2-p2-p1，上述的推理可以无穷重复，进而表明素数有无穷多个。”
仅仅不到四五分钟的时间，程诺已经不停歇的说出三个利用新方向的证明法，让两位队友不禁大开眼界。
要这三个证明法都仅仅是欧里几得证明法的变zhong的话，两位ding多会认为程诺对欧里几得证明法研究颇shen而已，倒升不起任何崇拜之意。
但三个证明法全bu都不同于欧里几得那zhong整数乘起来再zuo点加减法的证明，而是另辟蹊径，分别利用“互素序列”、“素数分布”、“代数数论”三个完全不同的方向进行拓展。
程诺说出的三个证明法都不算太过复杂，甚至还可以说是简单的过分。
但越简单，越让两人吃惊不已。
对于一个命题的证明过程，无论是哪个数学家，都希望当然是越简单越好。
别看许多高大上的数学定理的证明过程都是无比复杂，但那群数学家们也不愿意这样啊！
还不是因为找不到更加简单的证明方法。
越简单，就越容易让人理解。但对于数学家的要求越高。
同一个定理，一个能用一页论文将其证明的数学家，比之要用五页论文才能将其证明的数学家，学术水平至少要高上一倍。
也因此，两人现在看待程诺的眼神，宛若是看待一只怪物。
这家伙……真的只是一个研究生？
本以为程诺的实力只是和他们两人在伯仲之间而已。如今感觉，就程诺现在表现出来的实力，在他们学校担任副教授都够格了吧！
“有水吗，有点口渴了。”在两人还是思索之际，程诺哑着嗓子问dao。
“哦哦，我这里有水。”一人急忙将背包里的一瓶矿泉水递了过去。
“谢了。”
程诺咕咚咕咚喝了半瓶，等嗓子里那zhong不适感过去，dao，“之前说到哪了，哦，我讲完第三个证明法了，下面说第四个。”
程诺忘了一眼在那握笔准备记录的队友dao，“如果累了的话，可以让他帮你。”
说完，程诺便接着上面开始讲。
“第四个，利用解析数论的证明，这个方法和我上面用代数数论的证明方法有异曲同工之妙，你们都知dao，欧拉乘积公式是：Σnn-s=Πp1-p-s-1s>1，左侧经解析延拓后，可变为解析数论中极重要的函数：黎曼ζ函数ζs。”
“对于s=1，欧拉乘积公式的左侧是被称为调和级数的发散级数……”
程诺清了清嗓子，继续说，“上面这几个都是和数论有关的，下面我再说几个其他领域方向的证明方法。”
在两人瞠目结she2下，程诺娓娓说dao，“第五个，可以利用组合证明的方法。证明的思路是这样的：任何正整数n都可写成n=rs2的形式，其中r是不能被任何大于1的平方数整除的正整数，s2则是所有平方数因子的乘积。假如素数只有n个，则在r的素数分解中……”
“呃，程诺，你能不能再讲一遍。”负责记录的那位学生挠挠tou，略显尴尬的说dao，“我刚才光顾得愣神，忘了记录了。”
程诺无奈的耸耸肩，“好吧，我再说一遍，这次你们可要认真听。”
篝火的火光映在程诺侧脸上，显得光辉无比。
程诺座下两位博士生宛若乖宝宝般齐齐点tou，一副学生虚心受教的姿态。
“……第六个，利用拓扑的方法证明。”
两人顿时疑窦丛生。
程诺察觉到他们疑惑的小眼神，哈哈笑了笑，“我明白你们心中的疑惑，拓扑学似乎和数论是两个很不想干的领域，为什么我却这么说。等我讲完，你们就清楚了。”
“我们可以定义整数集上的一个拓扑，其开集由且仅由空集?及算术序列a? ba≠0和b皆为整数的并集组成。不难证明，如此定义的开集满足拓扑的定义，即：……”
“……由此，便得知素数有无穷多个。你们现在明白了吗？”
两人齐齐小ji啄米般点tou，脑中不断回味着程诺的话语。
但程诺并没有留给两人太多回味的时间。
在脑海中简单过一遍思路，程诺便讲述下一个证明法。
如今半小时的时间差不多已经过去一半，不抓jin的时间的话，还真的有可能讲不完。
“第七个，利用素数在信息、编码等领域的应用进行证明。过程很简单，正整数n都可分解为素数的连乘积：n=p1m1·p2m2...”
“……第八个，利用函数的方向证明，设fn为可整除n的不同素数的个数，假如素数只有有限多个，其连乘积为p，则显然对所有n都有fn=fn p……”
“……第九个，我将其称为素数的单行证明，单行表达式为：0＜nsinπ/p=nsinπ1 2np＇/p，假设素数只有有限多个。若素数只有有限多个，则表达式中左侧“<”右端连乘积中的sin的自变量π/p全都在0和π之间，sinπ/p>0，……”
“呼呼-！”
说完第九个证明法后，程诺就觉得口干she2燥，把剩余的半瓶矿泉水咕咚咕咚全都guan了下去。
一人很识趣的又递给程诺一瓶矿泉水。
见程诺许久没有了动作，那个负责记录的同学翻了翻自己写了有四页多的公式，咽了咽唾沫，小心翼翼的问dao，“还有吗？”
程诺摆摆手，苦笑dao，“新方向的证明法我能想到的只有这九个了，唉，距离勾gu定理五百多zhong证明方法还是差的太远啊！”
程诺苦笑，他们也在苦笑。
勾gu定理的五百多zhong证明法，可是历经几千年历史，数十代数学家的发展下才形成的。
程诺能在半个小时不到的时间里就能想出素数无穷的九zhong证明法，已经超出两人理解的范畴。
可听程诺的语气，他似乎还ting不满意。
这……
他们还能说啥！